Equations linéaires

Introduction aux systèmes linéaires

Pour résoudre un système linéaire de ce type ⇒ utilisation d’un algorithme

Dans le cas d’une intersection de droites (2 inconnues), les solutions peuvent être :

• infinies : les droites sont confondues
• uniques : un point d’intersection
• pas de solution : les droites ne se croisent pas.

Dans le cas d’une intersection de plans (3 inconnues), les solutions peuvent être :

• infinies :
  • une droite
  • un plan
• uniques : un point d’intersection
• pas de solutions.

Opérations possibles sur un système

• Échanger 2 lignes
• Multiplier (ou diviser) par un réel non nul
• Ajouter à une équation un multiple d’une autre équation ($L_2\leftarrow L_2-L_1$ qui correspond à soustraire la première ligne à la seconde)

Matrices, vecteurs

Une matrice est un tableau :

$$\left[\begin{array}{cccc}3& 21& -3& 0\\ -6& -2& -1& 62\\ 2& -3& 8& 32\end{array}\right]$$

Il s’agit d’une matrice $3\times 4$ car elle a 3 lignes et 4 colonnes.

Matrices

On note une matrice $A$ de dimension $n\times m$ une matrice avec $n$ lignes et $m$ colonnes.

• L’élement $a_{ij}$ de la matrice $A$ correspond à l’élément situé à la $i_{\grave{e}me}$ ligne et la $j_{\grave{e}me}$ colonne
• Deux matrices $A=[a_{ij}]$ et $B=[b_{ij}]$ sont égales si elles ont la même taille et tous les coefficients sont égaux
• Une matrice $A=[a_{ij}]$ de taille $n\times m$ est une matrice carrée si elle a autant de lignes que de colonnes. Les coefficients $a_{11},a_{22},...,a_{nn}$ constituent la diagonale de A.
• Une matrice carrée de taille $n\times n$ est dite diagonale si les coefficients au-dessus et en dessous de la diagonale sont nuls, c’est-à-dire $a_{ij}=0$ quand$i\ne j$
• Une matrice carrée de taille $n\times n$ est dite triangulaire supérieure si les coefficients au-dessous de la diagonale sont nuls, c’est-à-dire $a_{ij}=0$ quand $i>j$.

Matrice augmentée

La matrice augmentée d’un système permet de représenter le système dans une matrice.

Par exemple, pour passer du système :

$$\{\begin{array}{l}2x+8y+4z=2\\ 2x+5y+z=5\\ 4x+10y-z=1\end{array}$$

On a la matrice augmentée suivante (on représente les coefficients des différentes variables dans la matrice augmentée) :

$$\left[\begin{array}{ccccc}2& 8& 4& |& 2\\ 2& 5& 1& |& 5\\ 4& 10& -1& |& 1\end{array}\right]$$

Matrice des coefficients

On peut aussi représenter la matrice des coefficients du système :

$$\left[\begin{array}{ccc}2& 8& 4\\ 2& 5& 1\\ 4& 10& -1\end{array}\right]$$

Mais elle ne permet pas de résoudre le système

Pour un système de $n$ équations avec $m$ inconnues, la matrice des coefficients est de taille $n\times m$, alors que la matrice augmentée est de taille $n\times m+1$

Opérations sur les matrices

On peut faire les mêmes opérations sur les matrices que sur les systèmes linéaires

Algorithme de Gauss-Jordan

Cet algorithme permet de résoudre les systèmes linéaires :

1. On place un “curseur” à l’indice en haut à gauche de la matrice. Si la valeur du curseur est nulle, on cherche une ligne (vers le bas) où le coefficient de la colonne du curseur est non nulle et on échange cette ligne avec la ligne du curseur. S’il n’y en a pas, on bouge le curseur vers la droite et on recommence. Si ce n’est pas possible, on s’arrête
2. On divise la ligne du curseur par la valeur du curseur
3. On éliminé tous les coefficients de la colonne du curseur qui ne sont pas sur la ligne du curseur en soustrayant à chaque ligne des multiples adaptés de la ligne du curseur
4. On bouge le curseur une ligne plus bas et une colonne vers la droite. Si ce n’est pas possible, on s’arrête. Sinon on retourne à l’étape 1

Forme réduite échelonnée par ligne (Frel)

Définition de la Frel

Une matrice est une Frel si :

• Si une ligne a un coefficient $\ne 0$, alors son premier coefficient $\ne 0$ (en partant de la gauche), appelé pivot est égal à 1
• Dans la colonne d’un pivot, les autres coefficients sont égaux à 0
• Si une ligne a un pivot, alors toutes les autres lignes au-dessus ont un pivot à gauche de celui-ci

L’algorithme de Gauss permet d’aboutir à une Frel, par exemple la matrice suivante :

$$\left[\begin{array}{ccccccc}1& 2& 0& 3& 0& |& 2\\ 0& 0& 1& -1& 0& |& 2\\ 0& 0& 0& 0& 1& |& -2\\ 0& 0& 0& 0& 0& |& 0\end{array}\right]$$

est une Frel, avec les pivots correspondants.

Consistance d’un système

Définition

Un système est consistant si il a au moins une solution, inconsistant sinon.

Nombre de solutions d'un système linéaire

On note $A$ la matrice des coefficients du système et $B$ sa matrice augmentée

• Un système est inconsistant $\iff Frel(B)$ contient la ligne $\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& |& 1\end{array}\right]$, qui représente l’équation $0=1$
• Si un système est consistant, alors il a soit :
  • exactement une solution, quand $Frel(A)$ a un pivot par colonne
  • une infinité de solutions quand une colonne de $Frel(A)$ ne contient pas de pivot. Les variables correspondant à une colonne sans pivots sont appelées libres

Rang d’une matrice

Définition du rang

Le rang d’une matrice $M$ est le nombre de pivots dans $Frel(M)$

Théorème sur le rang

On note $A$ la matrice des coefficients d’un système, de taille $n\times m$

1. On a toujours $\text{Rang}(A)\le n$ et $\text{Rang}(A)\le m$
2. Si $\text{Rang}(A)=n$, alors le système est consistant.
3. Si $\text{Rang}(A)=m$, alors le système a au plus une solution.
4. Si $\text{Rang}(A)<m$ alors le système a soit une infinité de solutions, soit aucune.

La propriété 4 revient à dire que l’on a moins d’1 pivot par colonne. Donc il existera des variables libres, ce qui conduit à une infinité de solutions (qui dépendent d’un paramètre) ou pas de solutions (si l’on a par exemple une ligne telle que $\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& |& 1\end{array}\right]$)

Théorème avec un système ayant moins d'équations que d'inconnues

Un tel système a soit :

• pas de solutions
• une infinité de solutions

Car on n’aura forcément pas assez de pivots pour chaque colonne donc des variables libres

Un système linéaire avec $n$ équations et $n$ lignes (donc avec une matrice des coefficients de taille $n\times n$) admet une unique solution si $\text{Rang}(M)=n$. La matrice des coefficients obtenue est la matrice identité, qui est une matrice diagonale avec uniquement des 1 comme coefficients :

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& ...& 0\\ 0& 1& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& 0& ...& 1\end{array}\right]$$

Système avec des paramètres

Avec un système qui comporte des paramètres, on a par exemple la matrice :

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 1& |& m\\ 1& m& -1& |& 1\\ 1& -1& -1& |& 1\end{array}\right]$$

On cherche alors à exprimer les coefficients sans paramètres et sous forme de Frel.

Par exemple, on peut faire :

$$\{\begin{array}{l}{L}_2\leftarrow L_2-L_1\\ L_3\leftarrow L_3-L_1\end{array}$$

Ce qui nous donne la matrice

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 1& |& m\\ 0& m+1& -1& |& 1-m\\ 0& 0& -2& |& 1-m\end{array}\right]$$

On peut donc raisonner selon la valeur de $m$. Si $m+1\ne 0$, donc si $m\in \mathbb{R}\backslash \{-1\}$, alors on peut diviser les lignes du système par $m+1$ et donc pouvoir aboutir à une Frel.

On obtient finalement la matrice (après différentes étapes de division etc) :

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 0& |& 0\\ 0& 0& 1& |& -1\\ 0& 0& 0& |& 0\end{array}\right]$$

Calcul matriciel

Somme de matrices

Soient $A$ et $B$ de taille $n\times m$. La matrice $A+B$ est la matrice de taille $n\times m$ dont le coefficient de la $i_{\grave{e}me}$ ligne et de la $j_{\grave{e}me}$ colonne est égal à $a_{ij}+b_{ij}$

Conditions pour la somme de matrices

Les matrices dont on fait la somme doivent être de même taille. Sinon, on ne peut pas les additionner

Produit d'une matrice par un scalaire

Soit $A$ une matrice de taille $n\times m$ et $k\in \mathbb{R}$. La matrice $k\cdot A$ est une matrice dont le coefficient de la $i_{\grave{e}me}$ ligne et de la $j_{\grave{e}me}$ colonne est égal à $k\cdot a_{ij}$.

Produit d'une matrice par un vecteur

Soit $A$ une matrice de taille $n\times m$ dont les vecteurs colonnes sont les $m$ vecteurs de ${\mathbb{R}}^n$ notés $\overrightarrow{V_1},\overrightarrow{V_2},...,\overrightarrow{V_m}$, et soit $\overrightarrow{x}\in {\mathbb{R}}^n$ dont les composantes sont notées $x_1,x_2,...,x_m$. Alors le produit $A\cdot \overrightarrow{x}$ est noté :

$$\left[\begin{array}{cccc}\overrightarrow{V_1}& \overrightarrow{V_2}& ...& \overrightarrow{V_m}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ .\\ .\\ x_m\end{array}\right]=x_1\overrightarrow{V_1}+=x_2\overrightarrow{V_2}+...+=x_m\overrightarrow{V_m}$$

Le produit d’une matrice par un vecteur donne une combinaison linéaire : expression construite à partir d’un ensemble de termes en multipliant chaque terme par une constante et en ajoutant le résultat. Par exemple, une combinaison linéaire de x et y serait une expression de la forme ax + by, où a et b sont des constantes.

Propriétés sur les opérations de matrices

• Associativité : $(A+B)+C=A+(B+C)$ et $(\alpha \beta )A=\alpha (\beta A)$

Relation entre vecteurs et systèmes

$$\{\begin{array}{l}3x_1+x_2=7\\ x_1+2x_2=4\end{array}\to \left[\begin{array}{c}3x_1+x_2\\ x_1+2x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right]$$

D’où l’écriture suivante, sous forme de produits de matrices et de vecteurs :

$$\left[\begin{array}{c}3x_1\\ x_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ 2x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right]\to x_1\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right]$$

Donc, à partir d’un système linéaire, on peut aboutir à une équation d’un produit de matrices.