Variables et fonctions logiques

On parle de circuits numériques / logiques (en opposition avec les circuits analogiques qui sont convertis en grandeurs numériques) ⇒ 2 états possibles, par exemple :

contact ouvert ou fermé
transistor bloqué ou saturé

Donc il y a un certain nombre de valeurs possibles ( $\neq = \infty$ des circuits analogiques).

Ces circuits sont facilités par l’utilisation de l’algèbre de Boole ⇒ manipule des variables qui ne peuvent prendre que 2 états : 0 ou 1

Définitions

Une variable logique est une grandeur qui ne peut prendre qu’un nombre fini d’états discrets

L’algèbre de Boole est l’étude du comportement :

des variables prenant leurs valeurs dans l’ensemble (0,1)

des fonctions de ces variables prenant leurs valeurs dans le même ensemble

Donc, pour $n$ variables binaires indépendantes $x_{1}, x_{2}, x_{n}$ , une fonction logique $f (x_{1}, x_{2}, x_{n})$ est une fonction qui, pour chaque combinaison des variables binaires, prend un état 0 ou 1.

Fonction à 3 variables

Par exemple pour une fonction $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ , elle peut prendre la forme suivante :

$f (0, 0, 0) = 1$

$f (0, 0, 1) = 0$

$f (1, 1, 1) = 0$

etc.

Il y a $2^{3}$ combinaisons binaires possibles pour les 3 variables donc 8 combinaisons

Portes `OU`, `ET`, `NON`

L’algèbre booléenne est plus facile à manimuler que l’algèbre ordinaire parce qu’il n’y a que 2 valeurs possibles ⇒ pas de fraction, de partie décimale, de nombre négatif, de racine carrée…

3 opérations élémentaires

Addition logique : OU $+$

Multiplication logique : ET ‧

Inversion : NON $-$ (barre de surlignement)

Fonction logique `OU`

Opération qui a au moins 2 entrées et sa sortie est 1 si au moins une des entrées est 1, avec une table de vérité :

A	B	A+B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Deux symboles possibles pour OU :

Propriétés

Associativité : $(A + B) + C = A + B + C$

Commutativité : $A + B = B + A$

Idempotence : $A + A = A$

L’élément neutre est le 0 : $A + 0 = A$

$A + \overline{A} = 1$

$A + 1 = 1$

Exemple d’utilisation du `OU`

Dans certains systèmes de régulation industriels, on veut que la fonction de sortie se mette en marche quand une des valeurs entrées dépasse un seuil. Par exemple, dans un procédé chimique, l’alarme doit se déclencher quand la température dépasse une valeur maximale OU quand la pression dépasse une certaine limite.

On aura alors le montage suivant :

Dans ce système, la sortie des comparateurs passe à un niveau logique 1 quand la température atteint la température maximale (idem pour la pression P).

Composants : les constructeurs de circuits intégrés proposent les boîtiers suivants :

4 portes OU à 2 entrées : CI 7432
6 portes OU à 2 entrées : CI 74832

Fonction logique `ET`

Opération avec au moins 2 entrées, la sortie est dans l’état 1 si et seulement si toutes les entrées sont à 1 (donc même règles que la multiplication classique)

Table de vérité :

A	B	A‧B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

2 symboles possibles :

Propriétés

Associativité : $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot B \cdot C$

Commutativité : $A \cdot B = B \cdot A$

Idempotence : $A \cdot A = A$

L’élément neutre est le 1 : $A \cdot 1 = A$

La distributivité du ET par rapport au OU : $A \cdot (B + C) = A B + A C$

$A \cdot \overline{A} = 0$

$A \cdot 0 = 0$

Remarque

Le OU est également distributif par rapport au ET : $A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$

Exemple d’utilisation du `ET`

Déterminer la sortie $x$ de la porte ET suivante pour les formes d’ondes des entrées :

Donc $x$ égal à 1 seulement quand A et B sont égaux à 1 en même temps : intervalles $[t_{2}; t_{3}]$ et $[t_{6}; t_{7}]$

Fonction logique `NON`

Opération avec une seule entrée et une seule sortie. Le NON prend l’état 1 si et seulement si son entrée est à 0.

Vocabulaire

On peut dire :

NON A

inverse de A

complément de A

Donc l’opération s’appelle aussi l’inversion ou la complémentation

Table de vérité

$A$	$\overline{A}$
0	1
1	0

Symboles possibles :

Propriétés

$\overline{\overline{A}} = A$

$A + \overline{A} = 1$

$A \cdot \overline{A} = 0$

$A + \overline{A} \cdot B = A + B$ que l’on peut écrire aussi $\overline{A} + A B = \overline{A} + B$ ou encore $\overline{(B + C)} + (B + C) X = \overline{(B + C)} + X$

Théorèmes de De Morgan

Deux théorèmes importants :

\overline{A \cdot B \cdot C} = \overline{A} + \overline{B} + \overline{C}

\overline{A + B + C} = \overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{C}

Ces théorèmes permettent de simplifier des expressions :

une fonction ET peut être fabriquée à partir de OU et NON
une fonction OU peut être fabriquée à partir de ET et NON
On peut écrire avec la première forme : $A \cdot B = \overline{\overline{A \cdot B}} = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$

On peut écrire avec la première forme : $A + B = \overline{\overline{A + B}} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$

Démonstration de $A + \overline{A} \cdot B = A + B$

$A + \overline{A} B = \overline{\overline{A + \overline{A} B}}$ En appliquant le théorème : $A + \overline{A} B = \overline{\overline{A} \cdot \overline{\overline{A} B}} = \overline{\overline{A} \cdot (A + \overline{B})}$ Et : $\overline{\overline{A} \cdot (A + \overline{B})} = \overline{\overline{A} A + \overline{A} \cdot \overline{B}} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = A + B$

Fonctions logiques `NON ET`, `NON OU`, `OU EXCLUSIF`

Fonction logique `NON ET (NAND)`

Porte constituée par un inverseur à la sortie d’une porte ET. Portes très utilisés dans la réalisation des circuits logiques. Toute expression logique est réalisable en n’utilisant que des portes NAND

La table de vérité est l’inverse de la table de vérité du ET

A	B	$\overline{A \cdot B}$
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

2 symboles possibles :

Réalisation du `NON` avec des `NAND`

$F = \overline{A}$ , on veut montrer qu’on peut arriver à $F$ avec des NAND

On peut réécrire $F = \overline{A \cdot A}$ donc :

Réalisation du `ET` avec des `NAND`

$G = A \cdot B = \overline{\overline{A \cdot B}}$ ce qui correspond à la négation de NAND, donc :

Réalisation du `OU` avec des `NAND`

$H = A + B = \overline{\overline{A + B}} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ , donc on voit apparaître une fonction NAND avec $\overline{A}$ et $\overline{B}$

Exemple d’utilisation des portes `NAND` pour réaliser un circuit quelconque

Doit réaliser un circuit dont l’expression est $X = A \cdot B + C \cdot D$ Contraintes : il doit utiliser le moins de circuits intégrés (CI) possible

Hypothèses : CI disponibles suivants :

1 boîtier 7400 (4portes NAND 2 entrées)
1 boîtier 7408 (4portes ET 2 entrées)
1 boîtier 7432 (4portes OU 2 entrées)

Solution 1 : directe avec les portes `ET`, `OU`

Solution 2 : avec des portes `NAND` uniquement

Fonction logique `NON OU (NOR)`

Une porte NOR a un fonctionnement analogue à une porte OU suivie d’un inverseur : expression de sortie $X = \overline{A + B}$

Table de vérité inverse du OU :

A	B	$\overline{A + B}$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Symboles :

Réalisation du `NON` avec des `NOR`

On a $\overline{A} = \overline{A + A}$ donc on peut utiliser 1 seul NOR

Réalisation du `OU` avec des `NOR`

$A + B = \overline{\overline{A + B}}$ donc on a besoin d’inverser $A + B$ avec 1 NOR, puis de ré-inverser avec un autre NOR$

Réalisation du `ET` avec des `NOR`

$A \cdot B = \overline{\overline{A \cdot B}} = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ donc on inverse $A$ et $B$ en utilisant 1 NOR pour chacun et on les additionne avec 1 NOR

Exercice d’application de la fonction `NOR`

Forme d’onde de sortie de la porte NOR par rapport à celles de ses 3 entrées en fonction du temps :

Fonction logique `OU EXCLUSIF (XOR)`

Fonction logique égale à 1 si on a un nombre impair de 1 à l’entrée La sortie d’une fonction OU EXCLUSIF (XOR) à deux entrées est dans l’état 1 si une entrée et seulement une est dans l’état 1 ↔ niveau haut en sortie quand les signaux sur les deux entrées sont opposés

Table de vérité :

A	B	$A \oplus B$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Egalité du XOR

$A \oplus B = \overline{A} B + A \overline{B}$

2 symboles différents :

Propriétés

Associativité

Commutativité

$A \oplus 0 = A$

$A \oplus A = 0$

$A \oplus \overline{A} = 1$

$A \oplus 1 = \overline{A}$

La fonction XOR existe en circuit intégré (7486)

Fonction `NON OU EXCLUSIF`

Cette fonction s’appelle aussi fonction coïncidence, elle existe comme circuit intégré (CI 74LS266) Elle peut s’écrire : $\overline{A \oplus B} = \overline{A} \times \overline{B} + A \times B$ Sa table de vérité est l’inverse du XOR

Ses symboles sont :

Exercices d’applications

Exercice 1

Complétez les théorèmes de Boole suivants. X représente une variable binaire prenant soit la valeur 0, soit la valeur 1

Exercice 2

a) En utilisant les propriétés vues pendant le cours, donner une autre expression de z, qui sera plus simple : $z = (\overline{A} + B) (A + B)$ b) Même question pour x : $x = A C D + \overline{A} BC D$

a) $z = \overline{A} A + \overline{A} B + B A + BB = 0 + \overline{A} B + A B + B = B (\overline{A} + A) + B$ donc $z = B (1) + B = B$

b) $x = C D (A + \overline{A} B)$ , et d’après les Théorèmes de De Morgan, $A + \overline{A} B = A + B$ donc $x = C D (A + B)$

Exercice 3

Démontrez les théorèmes de De Morgan, en utilisant tous les cas possibles.

A	B	$\overline{A}$	$\overline{B}$	$\overline{A B}$	$\overline{A} + \overline{B}$
0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	1	1
1	1	0	0	0	0

Exercice 4

Tracer le schéma logique correspondant aux expressions suivantes, en utilisant les portes logiques OU, ET et NON : $y = A C + B \overline{C} + \overline{A} BC$ $\overline{(A + B + \overline{C} D \overline{E})} + \overline{B} C \overline{D}$

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