Numération : représentation des nombres

I Système de numération

I.1 - Introduction

Un entier naturel N dans une base b, peut se décomposer tel que : $N_b={\alpha }_p{\alpha }_{p-1}...{\alpha }_1{\alpha }_0$ avec les symboles ${\alpha }_i\to 0<{\alpha }_i<b-1$ (i position du symbole -1 car le premier i est 0)

Attention !

$N_b={\alpha }_p{\alpha }_{p-1}...{\alpha }_1{\alpha }_0$ ne signifie pas que N peut s’écrire sous la forme d’une multiplication, c’est bien la suite de symboles qu’on représente. Par exemple N = 12 avec ${\alpha }_0=1$ et ${\alpha }_1=2$

Donc ${\alpha }_i$ dépend de la base utilisée, par exemple en base 10 : $0<{\alpha }_i<9$

Pour une base $b$ donnée, on peut la représenter dans une base 10 à chaque fois : $N_{(b)}{\sum }_{i=0}^p{\alpha }_i{b}^i$ avec $b^i$ le poids associé au symbole ${\alpha }_i$

La signification du symbole dépend de son poids (donc de sa place dans la suite de symboles représentant le nombre) → position du symbole très importante

Exemple

15 $\ne$ 51 même symbole mais avec des positions différentes

Même chose pour la partie fractionnaire avec $b^i\to i<0$ donc $b^i<1$

I.2 - nombres décimaux - base 10

Les symboles en base 10 : $0<{\alpha }_i<9$ Les poids sont des puissances de 10 positives : $10^i$

Décomposer 1987 en base 10

$1987=7\times 10^0+9\times 10^1+9\times 10^2+1\times 10^3$

7 est dit le poids faible (nombre tout à droite)

Attention dans la décomposition

décalage d’indice entre la position et le poids (dans l’exemple précédent, 9 est à la troisième position mais avec un poids de 2)

Partie fractionnaire (après la virgule)

Donc $i<0$ et $n_{10}={\sum }_p^{i-1}{\alpha }_{i}10^i$

Même chose que précédemment mais les puissances de 10 sont négatives (car $i<0$)

Décomposer 25,308 en base 10

$25,308=8\times 10^{-3}+0\times 10^{-2}+3\times 10^{-1}+5\times 10^0+2\times 10^1$

I.3 - nombres binaires (base 2)

Base la + utlisée en informatique : a deux valeur (0 ou 1), que l’on peut aussi noter (Vrai/Faux)

Les symboles utilisés dans la base binaires = bits (binary digit) 8 bits = 1 octect ⇒ stockage des informations en octetcs

Donc, l’écriture d’un nombre en base 2 est tel que : $N_{(2)}={\sum }_{i=0}^p{\alpha }_i{2}^i={\alpha }_0{2}^0+...+{\alpha }_p{2}^p$ qui en écriture donne : ${\alpha }_p...{\alpha }_0$

Attention !

Entre la représentation d’un nombre par sa somme de symboles et de poids et son écriture, on inverse le sens ! La première position est celle toute à droite en écriture

• Most Significant Bit (MSB) :${\alpha }_p$
• Less Significant Bit (LSB) : ${\alpha }_0$

Décomposer 101 ("un zéro un" et non "cent-un")

$101_{(2)}=1\times 2^0+0\times 2^1+1\times 2^2$

On peut faire de même qu’en base 10 pour la partie fractionnaire.

Tableau des puissances de 2

$2^{10}$	$2^9$	$2^8$	$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$
1024	512	256 (octet)	128	64	32	16	8	4	3

$2^0$	$2^{-1}$	$2^{-2}$	$2^{-3}$
1	0.5	0.25	0.125

I.4 - nombres hexadécimaux (base 16)

Très utilisée en informatique pour l’affichage des nombres binaires car 1 hexadécimal correspond à 4 bits

$N_{(2)}{\sum }_{i=0}^p{\alpha }_{i}16^i={\alpha }_{0}16^0+...+{\alpha }_{p}16^p$ avec $0 < \alpha_{i}<15$$

• Symboles : {0, 1, …, 9, A, B, C, D, E, F}
• Poids : puissances positives de 16

Tableau de correspondance

A	B	C	D	E	F
10	11	12	13	14	15

Décomposer AF,D8 ₍₁₆₎ en base 16

$AF,D{8}_{(16)}=8\times 16^{-2}+D\times 16^{-1}+F\times 16^0+A\times 16^1$

II Conversions (transcodage)

On cherche les opérations pour changer de base. Plus la base est petite, plus le nombre de symboles équivalent en sortie de conversion est grand.

II.1 - Conversion d’un nombre en base b (2 ou 16) à un nombre en base 10

Conversion la plus simple, toujours la même méthode utilisée ⇒ écriture polynomiale : $N_b={\sum }_{i=0}^p{\alpha }_i{b}^i=N_{10}$

Convertir 10011 ₍₂₎ en base 10

$10011_{(2)}=1\times 2^0+2\times 2^1+0\times 2^2+0\times 2^3+1\times 2^4$ $10011_{(2)}=1+2+0+0+16=19_{(10)}$

De même avec la base 16 :

Convertir 5EA ₍₁₆₎ en base 10

$5E{A}_{16}=A\times 16^0+E\times 16^1+5\times 16^2=10+14\times 16+5\times 256=1514_{(10)}$ A vaut 10, E vaut 14 en base 16

II.2 - Conversion d’un nombre en base 10 à un nombre en base b (2 ou 16)

Méthode un peu plus complexe que dans l’autre sens. Il existe 2 méthodes :

• par soustraction
• par division

Méthode par soustraction

1. Recherche du poids le plus proche inférieur de N dans la base b : $b^{k-1}$
2. Soustraction de N₍₁₀₎ du nombre qui multiplie cette puissance
3. Retour à l’étape 2 avec le nombre obtenu
4. Fin quand on arrive à $b^0$ pour la partie entière (donc $k=1$)

Partie fractionnaire

Même méthode, poids fort à droite de la virgule (contrairement au nombre entier où le poids fort est à gauche de la virgule) Mais attention, le procédé peut devenir infini

Nombre de bits nécessaires : $k=\lfloor lo{g}_2(N_{(10)})\rfloor +1$ $\text{ou}$ $2^{k-1}<N_{(10)}<2^k$

Convertir 95 ₍₁₀₎ en base 2

1. Puissance de 2 la plus proche de 95 : 64
2. On soustrait à 95 une fois 64 (car on a 1 fois 64 max dans 95) : $95-64=41$
3. On répète l’opération : puissance de 2 la plus proche ⇒ 32 donc $31-0\times 32=31$

On a donc :

• $95-1\times 64=31$
• $31-0\times 32=31$
• $31-1\times 16=15$
• $15-1\times 8=7$
• $7-1\times 4=3$
• $3-1\times 2=1$
• $1-1=0$

Donc on a $95_{(10)}=1011111_{(2)}$

Convertir 95 ₍₁₀₎ en base 16

• $95-5\times 16=15$
• $15-15\times 16^0=0$

Donc $95_{(10)}=5F_{(16)}$

Méthode par divisions euclidiennes successives par b

Partie entière

Attention

Lecture de bas en haut pour cette méthode contrairement à la méthode précédente qui se fait de haut en bas

Convertir 95 ₍₁₀₎ en base 2

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}95& |\underline{2}\\ 94& 47\\ 1& \end{array}\end{array}$$

Puis, on prend le quotient de la division et on répète l’opération :

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}47& |\underline{2}\\ 46& 23\\ 1& \end{array}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}23& |\underline{2}\\ 22& 11\\ 1& \end{array}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}11& |\underline{2}\\ 10& 5\\ 1& \end{array}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}5& |\underline{2}\\ 4& 2\\ 1& \end{array}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}2& |\underline{2}\\ 2& 1\\ 0& \end{array}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}1& |\underline{2}\\ 0& 0\\ 1& \end{array}\end{array}$$

Le quotient est égal à 0 donc on s’arrêt à cette étape

Donc on obtient le nombre (lecture de bas en haut des restes) : $1011111_{(2)}$

Convertir 95 ₍₁₀₎ en base 2

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}95& |\underline{16}\\ 80& 5\\ 15& \end{array}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}5& |\underline{16}\\ 0& 0\\ 5& \end{array}\end{array}$$

Donc les restes sont $5$ et $15$ donc le nombre est $5F_{(16)}$

Petites astuces

• Les multiples de b se terminent par 0 : $2\times 7=14_{(10)}=1110_{(2)}$
• Les multiples de b² se terminent par 00 : $2^2\times 3=12_{(10)}=1100_{(2)}$
• Les multiples de b³ se terminent par 000 : $2^3\times 4=24_{(10)}=11000_{(2)}$

(fonctionne en base 10 : 100 = 10²)

Pour la conversion en base binaire : Avec n bits $\to$ 2ⁿ (valeurs de 0 à 2^n-1)

Nombre de bits	4	8	16	32
Plage de valeurs	0 à 15	0 à 255	0 à 65 535	0 à 4 294 672 296

Partie fractionnaire

On peut utiliser la Méthode par soustraction pour la partie fractionnaire

La méthode de division successive ne fonctionne pas donc on utilise la méthode de multiplication successives par b ⇒ Le calcul peut être infini pour la partie fractionnaire

Convertir 0,375 ₍₁₀₎ en base 2

$$\begin{array}{r}0,375\times 2=0,75\\ 0,75\times 2=1,5\\ 0,5\times 2=1,0\end{array}$$

On s’arrête lorsque l’on atteint x ,0

On lit les chiffres entiers pour la partie décimale : donc $0,375_{(10)}=0,011_{(2)}$

Convertir 0,375₍₁₀₎ en base 16

$$\begin{array}{r}0,375\times 16=6,0\end{array}$$

Donc : $0,375_{(10)}=0,6_{(16)}$

II.3 - Conversion d’un nombre entre les bases 2 et 16

Base binaire = 2² Base hexadécimale = 2⁴ Donc la conversion est assez rapide car on peut faire des paquets de bits

Hexadécimal vers binaire

Chaque symbole est remplacé par 4 bits

Binaire vers hexadécimal

• 1 paquet de 4 bits = 1 symbole
• Séparation de la partie entière et de la partie fractionnaire
  • Partie entière : de la droite vers la gauche
  • Partie fractionnaire : de la gauche vers la droite
• Rajouter des 0 si besoin

Convertir FA,8 ₍₁₆₎ en base 2

• F en binaire : 1111₍₂₎ (on peut passer par l’intermédiaire de la base 10, où F vaut 15 si besoin)
• A en binaire : 1010₍₂₎
• 8 en binaire : 1000 (car $8=2^3$)

Donc : $F1,8_{(16)}=11111010,1000_{(2)}$

Convertir 10111,01 ₍₂₎ en base 16

On ajoute des 0 à gauche de la virgule et à droite de la virgule pour avoir des paquets de 4 bits 001 0111, 0100

Donc :

• 0001₍₂₎ = 1₍₁₆₎
• 0111₍₂₎ = 7₍₁₆₎
• 0100₍₂₎ = 4₍₁₆₎

Soit : 0001 0111,0100₍₂₎ = 17,4₍₁₆₎

III Opérations

Additions

Comme en décimal (indiquer les retenues)

Règles en base 2

• 1₍₂₎ + 1₍₂₎ = 10₍₂₎
• 1₍₂₎ + 0₍₂₎ = 1₍₂₎
• 1₍₂₎ + 1₍₂₎ + 1₍₂₎ = 11₍₂₎

111 ₍₂₎ + 011₍₂₎

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rlccc}& ①& ①& ①& \\ & & 1& 1& 1\\ \text{+}& & 0& 1& 1\\ & & -& -& -\\ & 1& 0& 1& 0\end{array}\end{array}$$

Astuce pour la base 16

On complète pour arriver à 10₍₁₆₎

Exemples

• A₍₁₆₎ + 8₍₁₆₎ = A₍₁₆₎ + 6₍₁₆₎ +2₍₁₆₎ car A+6 = 16

Donc A₍₁₆₎ + 8₍₁₆₎ = 10₍₁₆₎ + 2₍₁₆₎ = 12₍₁₆₎

• C₍₁₆₎ + 8₍₁₆₎ = C₍₁₆₎ + 4₍₁₆₎ + 4₍₁₆₎ = 14₍₁₆₎

68 ₍₁₆₎ + 3A₍₁₆₎

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rlc}& ①& \\ & 6& 8\\ \text{+}& 3& A\\ & -& -\\ & A& 2\end{array}\end{array}$$

Soustractions

Règles pour la base 2

1₍₂₎ - 1₍₂₎ = 0

10₍₂₎ - 1₍₂₎ = 1

Exemples en base 2

111₍₂₎ - 011₍₂₎

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rlcc}& 1& 1& 1\\ \text{-}& 0& 1& 1\\ & -& -& -\\ & 1& 0& 0\end{array}\end{array}$$

100₍₂₎ - 011₍₂₎

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rlcc}& 1& {}_{①}0& {}_{①}0\\ \text{-}& {}_{+①}0& {}_{+①}1& 1\\ & -& -& -\\ & 0& 0& 1\end{array}\end{array}$$

Car 0 - (1 + 1) = 0 - 10 ⇒ on doit rajouter une unité

Exemple en base 16

68₍₁₆₎ - 3A₍₁₆₎

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rlc}& 6& {}_{①}8\\ \text{-}& {}_{+①}3& A\\ & -& -\\ & 2& E\end{array}\end{array}$$

Astuces en base 16

Pour faire 18 - A, de la même manière que pour l’addition on complète à 10₍₁₆₎. Comme A = 8+2, on a : 18₍₁₆₎ - A₍₁₆₎ = 18₍₁₆₎ - 8₍₁₆₎ - 2₍₁₆₎ = 10₍₁₆₎ - 2₍₁₆₎ = E₍₁₆₎

Autre exemple : 15₍₁₆₎ - 8₍₁₆₎ Pour aller à 10₍₁₆₎, on a : 15₍₁₆₎ - 5₍₁₆₎ Donc en décomposant 8₍₁₆₎ : 15₍₁₆₎ - 5₍₁₆₎ - 3₍₁₆₎ = 10₍₁₆₎ - 3₍₁₆₎ = D₍₁₆₎

(car on a en base 16 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12 … 1A, 1B … etc.)

Conclusion

On a vu les différentes manières de coder un nombre dans différentes bases. Les nombres ne sont pas directement codés en binaire, ou en hexadécimal, il existe des formats pour les coder en machine.