Introduction aux systèmes linéaires

Pour résoudre un système linéaire de ce type ⇒ utilisation d’un algorithme

Dans le cas d’une intersection de droites (2 inconnues), les solutions peuvent être :

• infinies : les droites sont confondues
• uniques : un point d’intersection
• pas de solution : les droites ne se croisent pas.

Dans le cas d’une intersection de plans (3 inconnues), les solutions peuvent être :

• infinies :
  • une droite
  • un plan
• uniques : un point d’intersection
• pas de solutions.

Matrices, vecteurs

Une matrice est un tableau :

$$\begin{bmatrix} 3&21&-3&0 \\ -6&-2&-1&62 \\ 2&-3&8&32 \end{bmatrix}$$

Il s’agit d’une matrice $3\times 4$ car elle a 3 lignes et 4 colonnes.

Matrice augmentée

La matrice augmentée d’un système permet de représenter le système dans une matrice.

Par exemple, pour passer du système :

$$\begin{cases} 2x+8y+4z=2 \\ 2x+5y+z=5 \\ 4x+10y-z=1 \end{cases}$$

On a la matrice augmentée suivante (on représente les coefficients des différentes variables dans la matrice augmentée) :

$$\begin{bmatrix} 2&8&4&|&2 \\ 2&5&1&|&5 \\ 4&10&-1&|&1 \end{bmatrix}$$

Pour un système de $n$ équations avec $m$ inconnues, la matrice des coefficients est de taille $n\times m$, alors que la matrice augmentée est de taille $n\times m+1$

Algorithme de Gauss-Jordan

Cet algorithme permet de résoudre les systèmes linéaires :

1. On place un “curseur” à l’indice en haut à gauche de la matrice. Si la valeur du curseur est nulle, on cherche une ligne (vers le bas) où le coefficient de la colonne du curseur est non nulle et on échange cette ligne avec la ligne du curseur. S’il n’y en a pas, on bouge le curseur vers la droite et on recommence. Si ce n’est pas possible, on s’arrête
2. On divise la ligne du curseur par la valeur du curseur
3. On éliminé tous les coefficients de la colonne du curseur qui ne sont pas sur la ligne du curseur en soustrayant à chaque ligne des multiples adaptés de la ligne du curseur
4. On bouge le curseur une ligne plus bas et une colonne vers la droite. Si ce n’est pas possible, on s’arrête. Sinon on retourne à l’étape 1

Forme réduite échelonnée par ligne (Frel)

L’algorithme de Gauss permet d’aboutir à une Frel, par exemple la matrice suivante :

$$\begin{bmatrix} \textcolor{red}{1}&2&0&3&0&|&2 \\ 0&0&\textcolor{red}{1}&-1&0&|&2 \\ 0&0&0&0&\textcolor{red}{1}&|&-2 \\ 0&0&0&0&0&|&0 \end{bmatrix}$$

est une Frel, avec les pivots correspondants.

Consistance d’un système

Rang d’une matrice

La propriété 4 revient à dire que l’on a moins d’1 pivot par colonne. Donc il existera des variables libres, ce qui conduit à une infinité de solutions (qui dépendent d’un paramètre) ou pas de solutions (si l’on a par exemple une ligne telle que $\begin{bmatrix}0&0&0&|&1\end{bmatrix}$)

Un système linéaire avec $n$ équations et $n$ lignes (donc avec une matrice des coefficients de taille $n\times n$) admet une unique solution si $\text{Rang}(M)=n$. La matrice des coefficients obtenue est la matrice identité, qui est une matrice diagonale avec uniquement des 1 comme coefficients :

$$\begin{bmatrix} 1&0&0&...&0 \\ 0&1&0&...&0 \\ 0&0&1&...&0 \\ ...&...&...&...&... \\ 0&0&0&...&1 \end{bmatrix}$$

Système avec des paramètres

Avec un système qui comporte des paramètres, on a par exemple la matrice :

$$\begin{bmatrix} 1&-1&1&|&m \\ 1&m&-1&|&1 \\ 1&-1&-1&|&1 \end{bmatrix}$$

On cherche alors à exprimer les coefficients sans paramètres et sous forme de Frel.

Par exemple, on peut faire :

$$\begin{cases} L_{2}\leftarrow L_{2}-L_1 \\ L_{3}\leftarrow L_{3}-L_{1} \end{cases}$$

Ce qui nous donne la matrice

$$\begin{bmatrix} 1&-1&1&|&m \\ 0&m+1&-1&|&1-m \\ 0&0&-2&|&1-m \end{bmatrix}$$

On peut donc raisonner selon la valeur de $m$. Si $m+1\neq 0$, donc si $m\in \mathbb{R}\backslash\{-1\}$, alors on peut diviser les lignes du système par $m+1$ et donc pouvoir aboutir à une Frel.

On obtient finalement la matrice (après différentes étapes de division etc) :

$$\begin{bmatrix} 1&-1&0&|&0 \\ 0&0&1&|&-1 \\ 0&0&0&|&0 \end{bmatrix}$$

Calcul matriciel

Le produit d’une matrice par un vecteur donne une combinaison linéaire : expression construite à partir d’un ensemble de termes en multipliant chaque terme par une constante et en ajoutant le résultat. Par exemple, une combinaison linéaire de x et y serait une expression de la forme ax + by, où a et b sont des constantes.

Relation entre vecteurs et systèmes

$$\begin{cases} 3x_{1}+x_{2}=7 \\ x_{1}+2x_{2}=4 \end{cases} \rightarrow \begin{bmatrix} 3x_{1}+x_{2} \\ x_{1}+2x_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \end{bmatrix}$$

D’où l’écriture suivante, sous forme de produits de matrices et de vecteurs :

$$\begin{bmatrix} 3x_{1} \\ x_{1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_{2} \\ 2x_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \end{bmatrix} \rightarrow x_{1}\begin{bmatrix} 3 \\ \textcolor{red}{1} \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} \textcolor{blue}{1} \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 3&\textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{1}&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \end{bmatrix}$$

Donc, à partir d’un système linéaire, on peut aboutir à une équation d’un produit de matrices.