Domaines de définition

L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble A tel que :

$$\begin{aligned} f : \ &A \rightarrow B \\ & a \mapsto b \end{aligned}$$

Le tableau ci-après mentionne les domaines de définition des fonctions usuelles, ainsi que leurs dérivées

Fonction	Domaine de définition	Dérivée	Domaine dérivée	Condition particulière
k	$\mathbb{R}$	0	$\mathbb{R}$
$x^n$	$\mathbb{R}$	$nx^{n-1}$	$\mathbb{R}$	$n \in \mathbb{N}^{*}$
$\frac{1}{x^{n}}$	$\mathbb{R}^{*}$	$-\frac{n}{x^{n+1}}$	$\mathbb{R}^{*}$	$n \in \mathbb{N}^{*}$
$e^{x}$	$\mathbb{R}$	$e^{x}$	$\mathbb{R}$
$\ln{x}$	$\mathbb{R}^{*}_{+}$	$\frac{1}{x}$	$\mathbb{R}^{*}_{+}$
$\cos{x}$	$\mathbb{R}$	$-\sin{x}$	$\mathbb{R}$
$\sin{x}$	$\mathbb{R}$	$\cos{x}$	$\mathbb{R}$
$\sqrt{x}$	$\mathbb{R}_{+}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$\mathbb{R}_{+}$

Parité des fonctions

Soit $f: A \rightarrow B$ une application.

• f est paire si : $\forall x \in A, -x\in A \text{ et } f(-x)=f(x)$
• f est impaire si : $\forall x \in A, -x\in A \text{ et } f(-x)=-f(x)$

Les graphes des fonctions paires et impaires possèdent une symétrie :

Type de fonction	Type de symétrie	Exemple de fonction	Graphe
Paire	par rapport à l’axe des ordonnées	$\cos,\lvert x \rvert,$ les polynômes de degré pairs
Impaire	centrale	$\sin$, les polynômes de degré impairs

Injectivité, surjectivité, bijectivité

Soit $f: A \rightarrow B$ une application.

• f est injective si : $\forall x \in A, x'\in A,f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'$, c’est-à-dire qu’il existe au plus 1 seul $x \in A$ tel que $f(x)=y$
• f est surjective si : $\forall y\in B, \exists x\in A, f(x)=y$
• f est bijective si elle est injective et surjective

On peut le représenter ainsi :

A partir d’une fonction bijective, on peut définir une fonction réciproque $f^{-1}$ (ou bijection réciproque) telle que : $f^{-1} A\rightarrow B$ et qui associe à chaque élément de l’ensemble d’arrivée son unique antécédent par $f$.

Pour déterminer cette fonction réciproque, on cherche $x$ tel que $f(x)=y$ avec $y\in B$ qui est donc l’antécédent de $x$ par $f$. Par exemple :

• $f(x)=3x+2$
• $y = 3x+2$
• $y-2=3x$
• Donc finalement : $x= \frac{y-2}{3}=f^{-1}(y)$

Propriétés d’exemples de fonctions

Polynômes

Un polynôme à coefficients réels/complexes de degré $n$ s’écrit sous la forme : $P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+...a_{1}X+a_{0}$ avec $n\in \mathbb{N}$ et $a_{i}\in\mathbb{R}$

L’ensemble des polynômes réels s’écrit : $\mathbb{R}[X]$ et des polynômes complexes : $\mathbb{C}[X]$

Propriétés du degré d’un polynôme :

• Si $P=0$, $\text{deg}(P\cdot Q)=\text{deg}(P)+\text{deg}(Q)$