I Système de numération

I.1 - Introduction

Un entier naturel N dans une base b, peut se décomposer tel que : $N_{b} = \alpha_{p}\alpha_{p-1}...\alpha_{1}\alpha_{0}$ avec les symboles $\alpha_{i} \rightarrow 0 < \alpha_{i}<b-1$ (i position du symbole -1 car le premier i est 0)

:::warning[Attention]!

$N_{b} = \alpha_{p}\alpha_{p-1}...\alpha_{1}\alpha_{0}$ ne signifie pas que N peut s’écrire sous la forme d’une multiplication, c’est bien la suite de symboles qu’on représente. Par exemple N = 12 avec $\alpha_{0} = 1$ et $\alpha_{1} = 2$ :::

Donc $\alpha_{i}$ dépend de la base utilisée, par exemple en base 10 : $0 < \alpha_{i}<9$

Pour une base $b$ donnée, on peut la représenter dans une base 10 à chaque fois : $N_{(b)}\sum_{i=0}^{p} \alpha_{i}b^{i}$ avec $b^{i}$ le poids associé au symbole $\alpha_{i}$

La signification du symbole dépend de son poids (donc de sa place dans la suite de symboles représentant le nombre) → position du symbole très importante

Même chose pour la partie fractionnaire avec $b^{i} \rightarrow i<0$ donc $b^{i}<1$

I.2 - nombres décimaux - base 10

Les symboles en base 10 : $0 < \alpha_{i}<9$ Les poids sont des puissances de 10 positives : $10^{i}$

Partie fractionnaire (après la virgule)

Donc $i<0$ et $n_{10} = \sum_{p}^{i-1}\alpha_{i}10^{i}$

Même chose que précédemment mais les puissances de 10 sont négatives (car $i<0$)

I.3 - nombres binaires (base 2)

Base la + utlisée en informatique : a deux valeur (0 ou 1), que l’on peut aussi noter (Vrai/Faux)

Les symboles utilisés dans la base binaires = bits (binary digit) 8 bits = 1 octect => stockage des informations en octetcs

Donc, l’écriture d’un nombre en base 2 est tel que : $N_{(2)}=\sum_{i=0}^{p} \alpha_{i}2^{i} = \alpha_{0}2^{0} +...+ \alpha_{p}2^{p}$ qui en écriture donne : $\alpha_{p}...\alpha_{0}$

:::warning[Attention]!

Entre la représentation d’un nombre par sa somme de symboles et de poids et son écriture, on inverse le sens ! La première position est celle toute à droite en écriture :::

• Most Significant Bit (MSB) :$\alpha_{p}$
• Less Significant Bit (LSB) : $\alpha_{0}$

On peut faire de même qu’en base 10 pour la partie fractionnaire.

Tableau des puissances de 2

$2^{10}$	$2^{9}$	$2^{8}$	$2^{7}$	$2^{6}$	$2^{5}$	$2^{4}$	$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$
1024	512	256 (octet)	128	64	32	16	8	4	3

$2^{0}$	$2^{-1}$	$2^{-2}$	$2^{-3}$
1	0.5	0.25	0.125

I.4 - nombres hexadécimaux (base 16)

Très utilisée en informatique pour l’affichage des nombres binaires car 1 hexadécimal correspond à 4 bits

$N_{(2)}\sum_{i=0}^{p} \alpha_{i}16^{i} = \alpha_{0}16^{0} +...+ \alpha_{p}16^{p}$ avec $0 < \alpha_{i}<15$$

• Symboles : {0, 1, …, 9, A, B, C, D, E, F}
• Poids : puissances positives de 16

Tableau de correspondance

A	B	C	D	E	F
10	11	12	13	14	15

II Conversions (transcodage)

On cherche les opérations pour changer de base. Plus la base est petite, plus le nombre de symboles équivalent en sortie de conversion est grand.

II.1 - Conversion d’un nombre en base b (2 ou 16) à un nombre en base 10

Conversion la plus simple, toujours la même méthode utilisée —> écriture polynomiale : $N_{b}=\sum_{i=0}^{p} \alpha_{i}b^{i} = N_{10}$

De même avec la base 16 :

II.2 - Conversion d’un nombre en base 10 à un nombre en base b (2 ou 16)

Méthode un peu plus complexe que dans l’autre sens. Il existe 2 méthodes :

• par soustraction
• par division

Méthode par soustraction

1. Recherche du poids le plus proche inférieur de N dans la base b : $b^{k-1}$
2. Soustraction de N₍₁₀₎ du nombre qui multiplie cette puissance
3. Retour à l’étape 2 avec le nombre obtenu
4. Fin quand on arrive à $b^{0}$ pour la partie entière (donc $k=1$)

:::warning[Partie]fractionnaire

Même méthode, poids fort à droite de la virgule (contrairement au nombre entier où le poids fort est à gauche de la virgule) Mais attention, le procédé peut devenir infini :::

Nombre de bits nécessaires : $k = \lfloor log_{2}(N_{(10)}) \rfloor +1$ $\text{ou}$ $2^{k-1}<N_{(10)}<2^{k}$

Méthode par divisions euclidiennes successives par b

Partie entière

Partie fractionnaire

On peut utiliser la Méthode par soustraction pour la partie fractionnaire

La méthode de division successive ne fonctionne pas donc on utilise la méthode de multiplication successives par b => Le calcul peut être infini pour la partie fractionnaire

II.3 - Conversion d’un nombre entre les bases 2 et 16

Base binaire = 2² Base hexadécimale = 2⁴ Donc la conversion est assez rapide car on peut faire des paquets de bits

III Opérations

Additions

Comme en décimal (indiquer les retenues)

Soustractions

Conclusion

On a vu les différentes manières de coder un nombre dans différentes bases. Les nombres ne sont pas directement codés en binaire, ou en hexadécimal, il existe des formats pour les coder en machine.